Stefan byter kuvert

Be om vetenskapliga förklaringar till upplevelser, fenomen och anekdoter som du funderat på.
Användarvisningsbild
Zartax
Inlägg: 3406
Blev medlem: mån 05 nov 2007, 19:07

Stefan byter kuvert

Inlägg av Zartax » tor 20 dec 2012, 10:58

Följande problem har fått mig att grubbla lite. Vad är era tankar om det?
Forskning&Framsteg skrev:Mia ska ge Stefan en födelsedagspresent.Men eftersom gåvan är något så tråkigt som pengar i ett kuvertvill hon göra presentöppnandet litet spännande.

Mia har lagt pengar i två kuvert. Hon lägger fram båda kuverten och berättar att det ligger dubbelt så mycket pengar i det ena som i det andra. Men hon avslöjar inte hur mycket det är, eller vilket kuvert som är vilket. Stefan får välja ett. Stefan tar det ena och öppnar det. Där ligger 500 kronor! Han tackar och säger artigt att det minsann var alldeles för mycket. Då säger Mia:
- Du kan få byta kuvert om du vill!
Stefan funderar. I det andra kuvertet är det antingen 250 eller 1 000kronor. Det betyder att om han byter kan han vinna 500 kronor eller förlora 250. Chansen är lika för båda alternativen.
- Självklart ska jag byta, säger Stefan.
Men tänk om Mia kommer att göra så här varenda födelsedag fram över. Medovanstående resonemang följer ju att Stefan alltid borde byta. Kan detverkligen stämma? Om det är x kronor i kuvertet Stefan öppnat så är det antingen 2x eller 0,5x i det andra kuvertet. I snitt betyder det 1,25x kronor om han byter. Oavsettvilket kuvert han väljer först lönar det sig alltså alltid att byta.

Är det något fel i Stefans resonemang?
"Jag är hälften grekisk gud, hälften sabeltandad tiger." - Thunder

Användarvisningsbild
kaxiga Z
Forummoderator
Inlägg: 17568
Blev medlem: tor 21 jun 2007, 07:44

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av kaxiga Z » tor 20 dec 2012, 12:00

Nu förstår jag paradoxen

wikipedia skrev:The two envelopes problem,

also known as the exchange paradox, is a brain teaser, puzzle or paradox in logic, philosophy, probability, and recreational mathematics, of special interest in decision theory and for the Bayesian interpretation of probability theory. Historically, it arose as a variant of the necktie paradox.

A statement of the problem starts with:

Let us say you are given two indistinguishable envelopes, each of which contains a positive sum of money. One envelope contains twice as much as the other. You may pick one envelope and keep whatever amount it contains. You pick one envelope at random but before you open it you are offered the possibility to take the other envelope instead.

It is possible to give arguments that show that it will be to your advantage to swap envelopes by showing that your expected return on swapping exceeds the sum in your envelope. This leads to the absurdity that it is beneficial to continue to swap envelopes indefinitely.
[...]

Användarvisningsbild
Pär C
Inlägg: 4811
Blev medlem: sön 26 apr 2009, 17:56

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Pär C » tor 20 dec 2012, 12:03

Nu skämmer jag väl ut mig men det finns väl tre värden att hålla reda på X + 0.5X eller 2X, inte bara 0.5X och 2X.
There are several ways to argue with idiots. None of them works.

Användarvisningsbild
Kartesius
Inlägg: 528
Blev medlem: fre 15 apr 2011, 08:56

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Kartesius » tor 20 dec 2012, 12:08

Det är meningslöst att tänka. Det är bara att bestämma sig.

Användarvisningsbild
kaxiga Z
Forummoderator
Inlägg: 17568
Blev medlem: tor 21 jun 2007, 07:44

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av kaxiga Z » tor 20 dec 2012, 12:14

Sannolikheter gäller väl bara innan man vet hur det ligger till/kommer ligga till?
De där 0,5 för 1000kr resp 0,5 för 250 kr (i kuvert 2) borde väl bara gälla då han endast öppnat kuvert 1?
När han väl öppnat 2) så vet han med 100% säkerhet vad som fanns i första kuvertet.

Kanske har svaret med detta att göra, vad sannolikhet faktiskt betyder.

Det låter som att Stefan gott kan göra exakt som han planerar, nämligen att öppna kuvert 2, varje år.

Användarvisningsbild
Pär C
Inlägg: 4811
Blev medlem: sön 26 apr 2009, 17:56

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Pär C » tor 20 dec 2012, 12:22

Fnullar på:

250 / 500 / 1000

Möjliga utfall:

250 -> 500 = + 250
500 -> 250 = - 250
500-> 1000 = + 500
1000 -> 500 = - 500

Dock. Får vi upp ett kuvert med 250 kr så kan vara 250/125/67,5. Vi kan alltså inte sluta oss till om vi öppnat X, 2X eller 0,5X. Stategin att alltid öppna går jämt ut med strategin att aldrig öppna.
There are several ways to argue with idiots. None of them works.

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13377
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av micke.d » tor 20 dec 2012, 12:25

Zartax och Wikipedias problemformuleringar skiljer sig på så sätt att i ena fallet får man byta efter att ett kuvert öppnats, medan i andra fallet får man byta innan något öppnats.

Dock ser jag inte att detta påverkar beslutsstrategin (under antagandet att det är maximering som eftersträvas).
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Thomas P
Inlägg: 9238
Blev medlem: sön 27 aug 2006, 19:01

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Thomas P » tor 20 dec 2012, 12:37

Ett problem är att för att resonemanget skall vara giltigt måste sannolikheten vara lika stor för varje belopp. Det skall vara lika troligt att Mia lagt 250 som 1000 kronor. Hade man plockat ett kuvert med 1000 kronor skulle sannolikheten vara lika stor att det andra innehåller 500 som 2000 kr osv. Detta leder till att väntevärdet för beloppen i kuverten är oändlig vilket är orimligt. Så fort du gör ett rimligt antagande om hur troligt det är att Mia lagt ett visst belopp i kuverten upphör det att vara en paradox.

Användarvisningsbild
kaxiga Z
Forummoderator
Inlägg: 17568
Blev medlem: tor 21 jun 2007, 07:44

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av kaxiga Z » tor 20 dec 2012, 12:43

Vi kan ju tänka att kuvert 1, dvs det första Stefan öppnar, innehåller 500 kr varje år.

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13377
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av micke.d » tor 20 dec 2012, 12:50

Thomas P skrev:Ett problem är att för att resonemanget skall vara giltigt måste sannolikheten vara lika stor för varje belopp. Det skall vara lika troligt att Mia lagt 250 som 1000 kronor. Hade man plockat ett kuvert med 1000 kronor skulle sannolikheten vara lika stor att det andra innehåller 500 som 2000 kr osv. Detta leder till att väntevärdet för beloppen i kuverten är oändlig vilket är orimligt. Så fort du gör ett rimligt antagande om hur troligt det är att Mia lagt ett visst belopp i kuverten upphör det att vara en paradox.
Nja, väntevärdet är väl knappast oändligt? Om ett kuvert öppnats så vet vi ju definitivt att det inte är oändligt.

Som jag ser det så innehåller kuverten X kr och 2X kr. Vi vet inte X.

När ett kuvert öppnats som visar sig innehålla 500 kr, så vet vi att X är 250 eller 500. Beroende på vad X är kan det löna sig att byta eller inte byta. Om vi på något sätt kan sätta sannolikheter på X=250 och X=500 så kan man nog hitta en framgångsrik strategi.
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
Johannes
Inlägg: 4064
Blev medlem: tis 30 nov 2004, 14:31

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Johannes » tor 20 dec 2012, 13:13

micke.d skrev:Zartax och Wikipedias problemformuleringar skiljer sig på så sätt att i ena fallet får man byta efter att ett kuvert öppnats, medan i andra fallet får man byta innan något öppnats.
Det fallet avhandlas också på wikisidan.

Förvånande att något som verkar vara så enkelt ännu inte har en lösning som alla är fullt överens om.

Thomas P
Inlägg: 9238
Blev medlem: sön 27 aug 2006, 19:01

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Thomas P » tor 20 dec 2012, 14:10

micke.d skrev:Nja, väntevärdet är väl knappast oändligt? Om ett kuvert öppnats så vet vi ju definitivt att det inte är oändligt.
Situationen före och efter det att vi öppnat ett kuvert är helt olika. Sannolikheter ändras när man får tillgång till mer information.
Som jag ser det så innehåller kuverten X kr och 2X kr. Vi vet inte X.
Då har vi alltså att hitta en sannolikhetsfördelning för X, och enda fördelningen vid vilken det alltid är lika sannolikt att vi plockat kuvertet med den lägre summan som med den högre är om fördelningen är likformig, vilket innebär ett oändligt väntevärde.
När ett kuvert öppnats som visar sig innehålla 500 kr, så vet vi att X är 250 eller 500. Beroende på vad X är kan det löna sig att byta eller inte byta. Om vi på något sätt kan sätta sannolikheter på X=250 och X=500 så kan man nog hitta en framgångsrik strategi.
Om vi väl accepterar att fördelningen inte är likformig, att vissa värden på X är mer troliga, är det inte en paradox. Är vi t ex övertygade om att Mia inte kan lagt så mycket som 1000 kronor i ett kuvert så blir rätta valet att inte byta.

Användarvisningsbild
matsw
Inlägg: 7263
Blev medlem: fre 10 feb 2006, 23:20

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av matsw » tor 20 dec 2012, 14:12

Zartax skrev:Följande problem har fått mig att grubbla lite. Vad är era tankar om det??
Enkelt: att kuvertet han öppnar innehåller x kr är ingen ny information att ta nåt beslut på.

Såvida inte han har en annan information om förväntad storleksordningen på gåvan. Då ska ta den andra om x känns för lite i förhållande till det. Tricket med den här frågeställningen är att man gör omedvetet gör den här jämförelsen mot en förväntad summa. Är mia student och det ligger 1000 i kuvertet ska han kanske inte byta... Om inte...
det väsentliga är inte vad man vet utan hur man vet det.

Användarvisningsbild
C-J
Inlägg: 4891
Blev medlem: tor 12 apr 2007, 07:15

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av C-J » tor 20 dec 2012, 14:27

Skrev (snabbt) ett program och gjorde antagandet att det bara är 25, 50 och 100 kr som är de möjliga värdena.

Vi har två strategier, byt alltid och byt aldrig. Vi har bara tre möjliga valörer 25kr, 50 kr och 100kr.
Om vi öppnar det första och det är 25 kr så byter vi såklart oavsett strategi och om det är 100 kr så byter vi såklart inte. Det är när det är 50 kr i kuvertet som ev. val spelar in.

Med antaganden ovan så verkar det som att det lönar sig att behålla, då tjänar man ungefär 1,14 ggr mer.

Kod: Markera allt

public void Run()
        {
            Random r = new Random();

            decimal alwaysSwitch = 0;
            decimal alwaysKeep = 0;

            while (!Console.KeyAvailable)
            {                
                int envelope1 = r.Next(3);
                switch (envelope1)
                {
                    case 0: 
                        //25 i första (öppnade) kuvertet
                        alwaysSwitch += 50;
                        alwaysKeep += 50;
                        break;                                            
                    case 2:
                        //100 i första (öppnade) kuvertet
                        alwaysSwitch += 100;
                        alwaysKeep += 100;
                        break;
                    case 1:
                        {
                            //50 i (öppnade)kuvertet

                            //Vad har vi i andra?
                            bool otherIs100 = r.Next(1) == 1; 
                            
                            if (otherIs100)
                            {
                                //Nitlott för keeper.
                                alwaysSwitch += 100;
                                alwaysKeep += 50;
                            }
                            else
                            {
                                //Nitlott för bytaren
                                alwaysSwitch += 25;
                                alwaysKeep += 50;
                            }
                        }
                        break;
                }
                Console.WriteLine(alwaysKeep + " " + alwaysSwitch + " " + (alwaysKeep / alwaysSwitch).ToString("f5"));
            }            
        }

Kod: Markera allt

1072550 939100 1,14210
1072650 939200 1,14209
1072750 939300 1,14207
1072800 939350 1,14207
1072850 939375 1,14209
1072950 939475 1,14207
1073050 939575 1,14206
1073100 939600 1,14208
1073150 939650 1,14207
1073200 939675 1,14210
1073300 939775 1,14208
1073350 939800 1,14210
1073400 939825 1,14213
1073450 939850 1,14215
1073550 939950 1,14214
Oh, behave!

Användarvisningsbild
Zlayer
Inlägg: 223
Blev medlem: tis 09 dec 2008, 07:17

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Zlayer » tor 20 dec 2012, 14:39

Självklart skall man byta.
Annars får man ju aldrig reda på vad det var i det andra kuvertet. =)

Det känns lite relaterat till följande: http://sv.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall-problemet
Men i det fallet så är jag övertygad, men med bara två kuvert känns det inte lika tydligt.

Det enda man får reda på efter att ha öppnat det ena kuvertet är hur mycket pengar det innehåller, så har jag svårt att se att det skulle ha betydelse.

Skriv svar