Stefan byter kuvert

Be om vetenskapliga förklaringar till upplevelser, fenomen och anekdoter som du funderat på.
Användarvisningsbild
kaxiga Z
Forummoderator
Inlägg: 17568
Blev medlem: tor 21 jun 2007, 07:44

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av kaxiga Z » tor 10 jan 2013, 00:14

(Håller på och försöker klura igenom din sammanfattning, och önskar att jag vågade be om att du skrev sannolikheterna för Mias placeringar som PA,B = P250,500, P500,250, P500,1000, P1000,500, etc, dvs så att placeringarna kommer med på ett för mig tydligt vis.)

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13377
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av micke.d » tor 10 jan 2013, 00:27

kaxiga Z skrev:(Håller på och försöker klura igenom din sammanfattning, och önskar att jag vågade be om att du skrev sannolikheterna för Mias placeringar som PA,B = P250,500, P500,250, P500,1000, P1000,500, etc, dvs så att placeringarna kommer med på ett för mig tydligt vis.)
P(250,500) är sannolikheten att Mia valt att lägga 250 och 500 kr i kuverten, givet att hon valt något av beloppsparen (250,500) och (500,1000). Det säger inget om vilket belopp som ligger i vilket kuvert.

Men det har du ju förmodligen greppat redan. Ursäkta om notationen blev lite stökig.
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13377
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av micke.d » tor 10 jan 2013, 11:30

micke.d skrev:Sammanfattning:
Antag att Mia väljer (250,500) eller (500,1000).

Väntevärdena för A och B är lika så länge inget kuvert öppnats. Om något av dem öppnas och visar sig innehålla 500 kr, så kan vi beräkna väntevärdet för det andra om fördelningen mellan (250, 500) och (500,1000) är känd. Detta väntevärde kan vara större eller mindre än 500 kr, det vet vi inget om i den givna problemformuleringen.
Väntevärdet för det andra kuvertet är lika med beloppet i det första om och endast om

E[B | A = 500] = (P(250,500)*0.5*250 + P(500,1000))*0.5*1000)/0.5 = P(250,500)*250 + P(500,1000)*1000 = 500

Vilket, om vi stoppar in att P(250,500) + P(500,1000) = 1, kan lösas ut till

P(250,500) = 2/3

Om fördelningen är sån att sannolikheten för det mindre paret alltid är dubbelt så stor som för det större så spelar det alltså ingen roll om man byter eller inte. I andra fall kan det löna sig att byta (eller inte), det beror på hur fördelningen ser ut. Känner man fördelningen så behöver man verkligen öppna första kuvertet för att veta var i fördelningen man befinner sig för att kunna utföra beräkningen.

(Värdet 2/3 påminner en hel del om vad harald var inne på tidigare.)
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13377
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av micke.d » fre 11 jan 2013, 12:44

Ett exempel på en sannolikhetsfördelning där det inte spelar någon roll om man byter:

Antag att Mia först väljer X, och sedan lägger X och 2X i kuverten. Låt P(x) vara sannolikheten att Mia väljer X=x.

Låt P(2n) = 1/2(n+1) (n är ett icke-negativt heltal)
Låt P(x) = 0 annars.

När ett kuvert öppnas och visar sig innehålla ett visst belopp A, så är det här så att väntevärdet för det oöppnade kuvertet också är A.

(Tillägg: Utom i fallet A=1, då vi vet att värdet i andra kuvertet är 2.)

-----------
Ett exempel på en sannolikhetsfördelning där strategin att byta är sämre än att inte göra det:

Låt P(0) = 0
Låt P(n) = 1/2n

När ett kuvert öppnas och visar sig innehålla ett visst belopp A, så är det här så att väntevärdet för det oöppnade kuvertet är mindre än A.

(Tillägg: Utom i fallet A=1, då vi vet att värdet i andra kuvertet är 2.)
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13377
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av micke.d » fre 11 jan 2013, 13:39

Någon sannolikhetfördelning för vilken strategin att alltid byta är framgångsrik har jag inte kommit på, men det kan ju möjligen bero på att jag inte är tillräckligt klyftig.
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
kaxiga Z
Forummoderator
Inlägg: 17568
Blev medlem: tor 21 jun 2007, 07:44

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av kaxiga Z » fre 11 jan 2013, 14:12

Micke.d skrev:Om fördelningen är sån att sannolikheten för det mindre paret alltid är dubbelt så stor som för det större så spelar det alltså ingen roll om man byter eller inte.
Precis, det är det förhållandet som får ekvationen om att väntevärdet är detsamma för det oöppnade kuvertet som för det öppnade, att gå ihop. (med det alltså bara ett specialfall)
P0,5X*(0,5X) + P2X*(2X) = X
P0,5X + P2X = 1
Annars kan en ganska smidig lösning på 'paradoxen' vara (har säkert uttryckts flera gånger på olika sätt i tråden) att när Stefan (som ej är medveten om någon sannolikhetsfördelning på olika kuvertsummekombinationer, endast att ena kuvertet innehåller dubbelt så mycket som det andra. X och 2X) öppnat sitt första kuvert och funnit 500 kronor, inte se det som femhundra kronor, utan se det som att han dragit fram väntevärdet 1,5X. 500 = 1,5 X. På så sätt kommer han att förstå varför även det andra kuvertet innehåller 1,5X, och därför inte behöver byta.

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13377
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av micke.d » fre 11 jan 2013, 14:56

Zartax skrev:Tja, om du t.ex. antar att värdet i det stora kuvertet kan anta alla tal 2^n där n [1 inf] så får du en fördelning utan övre halva av intervallet. Det finns alltså inga värden där du kan veta att du har öppnat det stora kuvertet. Det enda värde där du vet vad du har är 1, vilket är en försvinnande liten del av mängden och inte påverkar problemet kvalitativt. I det fallet håller analysen av väntevärdet som ger 1.25X i det oöppnade kuvertet, där X är summan i det öppnade.
Nej, det här stämmer inte. Analysen stämmer endast om sannolikheten att Mia lagt (X/2, X) respektive (X, 2X) i kuverten är lika. Vilket de inte kan vara överallt i det utfallsrummet. Se mitt inlägg ovan för en fördelning där väntevärdet är X.
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
Zartax
Inlägg: 3406
Blev medlem: mån 05 nov 2007, 19:07

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Zartax » fre 11 jan 2013, 21:42

micke.d skrev:
Zartax skrev:Tja, om du t.ex. antar att värdet i det stora kuvertet kan anta alla tal 2^n där n [1 inf] så får du en fördelning utan övre halva av intervallet. Det finns alltså inga värden där du kan veta att du har öppnat det stora kuvertet. Det enda värde där du vet vad du har är 1, vilket är en försvinnande liten del av mängden och inte påverkar problemet kvalitativt. I det fallet håller analysen av väntevärdet som ger 1.25X i det oöppnade kuvertet, där X är summan i det öppnade.
Nej, det här stämmer inte. Analysen stämmer endast om sannolikheten att Mia lagt (X/2, X) respektive (X, 2X) i kuverten är lika. Vilket de inte kan vara överallt i det utfallsrummet. Se mitt inlägg ovan för en fördelning där väntevärdet är X.
Jag vet. Jag har tidigare länkat till ett inlägg i början av tråden där det finns en beskrivning av varför det inte går. Två inlägg under det länkade inlägget finns dock ett citat från wikipedia där man påstår att det finns sannolikhetsfördelningar som gör att väntevärdet på det andra kuvertet blir större.
"Jag är hälften grekisk gud, hälften sabeltandad tiger." - Thunder

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13377
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av micke.d » fre 11 jan 2013, 23:28

Jo, jag såg det. Men jag kunde inte hitta den referensen på nätet. Jag tror det var den här:

John Broome, The Two-envelope Paradox, Analysis 55(1): 6–11.
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Englund
Inlägg: 874
Blev medlem: sön 06 feb 2011, 12:14
Ort: Sundsvall

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Englund » lör 12 jan 2013, 01:47

Om följande är en korrekt uppfattning av problemet så har jag en lösning, som både kan bevisas formellt och styrkas genom Monte Carlo-simulering: Personen som blir erbjuden pengar byter alltid, och det är alltid 50 procents chans att det är dubbelt så mycket pengar i det andra brevet och 50 procents sannolikhet att det är hälften så mycket pengar där. Ett annat antagande vi är tvungna att göra för att problemet skall kunna lösas är att summa pengar i kuverten är mindre än oändligheten. Ett sista antagande vi behöver göra är att den person som blir erbjuden kuverten ej vet hur mycket det är i kuverten innan han öppnat dem! Då har vi följande

M=Summa pengar i det först öppnade kuvertet
B=Byte av kuvert
E[M]<
E[M│B]=2P(B)m+1/2 P(B)m=2/2 m+1/4 m=5/4 m=1.25m
Kod skriven i R skrev:envelope=function(f) {
y=numeric(f)
for (i in 1:f) {
pengar=runif(1,0,2)
x=rbinom(1,1,0.5)
if (x==1) {y=2*pengar}
if (x==0) {y=pengar/2}
}
mean(y)
}
envelope(1000000)
[1] 1.251778
Vi har alltså att väntevärdet blir 1.25m om man alltid byter kuvert, givet dessa antaganden. Jag reserverar mig för att vara ute och cykla = )
Senast redigerad av 1 Englund, redigerad totalt 0 gånger.
Nu är då och framtiden är för alltid!

Englund
Inlägg: 874
Blev medlem: sön 06 feb 2011, 12:14
Ort: Sundsvall

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Englund » lör 12 jan 2013, 02:02

matsw skrev:Dvs det går inte att räkna ut ETT väntevärde. Däremot kan man räkna ut två. Om det är 500 i första kuvertet så är väntevärdet (för Stefan som inte vet vad som lades i kuverten) antingen 375 eller 750.
Jo, väntevärdet i det andra kuvertet i ditt exempel är 562.5. Du verkar ha missförstått vad ett väntevärde är. Du blandar ihop med E[mode value]. De förväntade mode values är 375 och 750 i ditt exempel.
Nu är då och framtiden är för alltid!

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13377
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av micke.d » lör 12 jan 2013, 02:25

micke.d skrev:Någon sannolikhetfördelning för vilken strategin att alltid byta är framgångsrik har jag inte kommit på, men det kan ju möjligen bero på att jag inte är tillräckligt klyftig.
Jag är uppenbarligen inte nog klyftig. Det stod ju i Wikipedia:
Suppose for example (Broome, 1995)[15] that the envelope with the smaller amount actually contains 2n dollars with probability 2n/3n+1 where n = 0, 1, 2,… These probabilities sum to 1, hence the distribution is a proper prior (for subjectivists) and a completely decent probability law also for frequentists.
Om A = 2k, så är sannolikheten för det mindre paret 2k/3k+1 och för det större 2k+1/3k+2.

Sannolikheten för att det är det mindre paret är
(2k/3k+1) / (2k/3k+1 + 2k+1/3k+2)
(gör nämnarna lika) = (2k3/3k+2) / (2k3/3k+2 + 2k+1/3k+2)
(förkorta bort 3k+2) = 2k3 / (2k3 + 2k+1)
(se till att 2k3 är en faktor överallt) = 2k3 / (2k3 + 2k3 * 2/3)
(förkorta bort 2k3) = 1/(1 + 2/3)
= 3/5

... vilket innebär att sannolikheten för det mindre paret är mindre än dubbla för det större. Alltså lönar det sig att alltid byta efter att man öppnat det första kuvertet.

Kewl.

Tillägg: Sannolikheterna är en geometrisk serie med a=1/3 och r=2/3, så de summeras till 1. Väntevärdet för A är oändligt.
Senast redigerad av 2 micke.d, redigerad totalt 0 gång.
Anledning: fixat 2n -> 2^n
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
Zartax
Inlägg: 3406
Blev medlem: mån 05 nov 2007, 19:07

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Zartax » lör 12 jan 2013, 12:41

micke.d skrev:... vilket innebär att sannolikheten för det mindre paret är mindre än dubbla för det större. Alltså lönar det sig att alltid byta efter att man öppnat det första kuvertet.

Kewl.

Tillägg: Sannolikheterna är en geometrisk serie med a=1/3 och r=2/3, så de summeras till 1. Väntevärdet för A är oändligt.
Då borde vi ha en paradox igen, eller hur?
"Jag är hälften grekisk gud, hälften sabeltandad tiger." - Thunder

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13377
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av micke.d » lör 12 jan 2013, 13:12

Zartax skrev:
micke.d skrev:... vilket innebär att sannolikheten för det mindre paret är mindre än dubbla för det större. Alltså lönar det sig att alltid byta efter att man öppnat det första kuvertet.

Kewl.

Tillägg: Sannolikheterna är en geometrisk serie med a=1/3 och r=2/3, så de summeras till 1. Väntevärdet för A är oändligt.
Då borde vi ha en paradox igen, eller hur?
Mja. Vi har iallafall en hyfsat skum situation.

Innan man öppnat något kuvert är väntevärdet för båda kuverten oändligt. Då finns ingen anledning att föredra det ena framför det andra.

Men: så snart du öppnat ett kuvert, så vet du att värdet på A är något visst a, och dessutom att E[B | A=a] är större än a. Så då bör du byta.

Det paradoxala är väl då att om vi har två personer som öppnar var sitt kuvert utan att visa värdet för den andre. Då vill båda byta med den andre eftersom väntevärdet på beloppet som den andre har är större än det egna. Det känns ju inte som att strategin att byta efter att ha öppnat borde funka för bägge två.
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
Zartax
Inlägg: 3406
Blev medlem: mån 05 nov 2007, 19:07

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Zartax » lör 12 jan 2013, 13:17

Precis!
"Jag är hälften grekisk gud, hälften sabeltandad tiger." - Thunder

Skriv svar