Stefan byter kuvert

Be om vetenskapliga förklaringar till upplevelser, fenomen och anekdoter som du funderat på.
Användarvisningsbild
Zartax
Inlägg: 3406
Blev medlem: mån 05 nov 2007, 19:07

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Zartax » ons 16 jan 2013, 12:51

bulsara skrev:Det är lite oklart vad du invänder mot. Jag hävdar:

1. Om det verkligen vore lika stor chans att mitt kuvert var antingen den lägre eller den högre summan, vore det lönsamt att byta (därav liknelsen med slantsinglingen). Håller du inte med om det? Om jag får 500 kronor och vet att detta lika gärna kan vara ena delen i paret 500/1000 som 250/500, så måste det givetvis löna sig att byta varje gång jag får 500. Och skulle detta gälla för alla summor skulle det alltid löna sig att byta.
Fast slantsinglingen lönar sig ju inte, men ja, det skulle löna sig att byta.

bulsara skrev:2. Nej, exemplet med slantsinglingen är mycket riktigt inte jämförbart (det är det som är min poäng), för det går inte att nå en sådan fördelning med kuverten. Varje uppsättning kuvert måste motsvaras av ytterligare en uppsättning med dubbla summor, vilket i sin tur måste motsvaras av ytterligare en uppsättning med dubbla summor och så vidare i oändligheten. Detta gör antagandet om femtio/femtio absurt, och jag förstår inte vilken fördelning du syftar på som inte är det. Å andra sidan är jag som sagt ingen matematiker.
Att det inte går att nå en sådan fördelning med kuverten visar inget eftersom slantsinglingen inte lönar sig. Problemet med 50/50 är inte att den innehåller oändligheten, inte matematiskt teoretiskt iaf, utan att det är samma sannolikhet för alla par och du har oändligt många par, vilket gör sannolikheten för varje individuellt par noll. Har du däremot en sannolikhet för paren som varierar med t.ex. sjunkande sannolikhet ju högre summa, där summan av sannolikheterna = 1, så är det en korrekt sannolikhetsfördelning, trots att den går till oändligheten. Då är den inte längre matematiskt absurd, även om den kanske inte är praktiskt realiserbar. Ett exempel på en sådan fördelning är den som nämns i det här inlägget.
"Jag är hälften grekisk gud, hälften sabeltandad tiger." - Thunder

Användarvisningsbild
Zartax
Inlägg: 3406
Blev medlem: mån 05 nov 2007, 19:07

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Zartax » ons 16 jan 2013, 12:58

kaxiga Z skrev:Problemet är nog att man hela tiden antar att väntevärdet i det oöppnade kuvertet, och min vinst över tiden, är samma sak.

Men det kan det inte vara.

Någonstans får man inse, att oavsett vilket värde det oöppnade kuvertet har, så är mina 500 kr (kuvertA) = ca 1,1*(det oöppnade kuvertet) ( = 1,1b) Byter jag har jag gått från 1,1b till b. Eller hur?
Nej, det oöppnade har ett väntevärde som beror på det öppnade, men inte tvärt om. Isf. skulle du kunna byta innan du ens öppnar, men då är vi tillbaka i den första frågeställningen som finns i wikipediaartikeln.
"Jag är hälften grekisk gud, hälften sabeltandad tiger." - Thunder

Användarvisningsbild
bulsara
Inlägg: 21
Blev medlem: tor 05 apr 2007, 22:06

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av bulsara » ons 16 jan 2013, 13:16

Zartax skrev: Fast slantsinglingen lönar sig ju inte, men ja, det skulle löna sig att byta.
Jag förstår inte vad du menar, det är klart att den lönar sig. Om den potentiella vinsten är dubbelt så stor som den potentiella förlusten, och båda utfallen har 50 procents sannolikhet, så är det självklart ett bet som lönar sig i längden. Hur menar du?

Det övriga matematiska resonemanget är jag inte säker på att jag förstår. Du tycks peka på ett problem jag inte tänkt på innan, men jag är inte säker på att jag tycker att detta är det avgörande problemet. Men jag får nog lämna det därhän.

Användarvisningsbild
Zartax
Inlägg: 3406
Blev medlem: mån 05 nov 2007, 19:07

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Zartax » ons 16 jan 2013, 13:26

bulsara skrev:
Zartax skrev: Fast slantsinglingen lönar sig ju inte, men ja, det skulle löna sig att byta.
Jag förstår inte vad du menar, det är klart att den lönar sig. Om den potentiella vinsten är dubbelt så stor som den potentiella förlusten, och båda utfallen har 50 procents sannolikhet, så är det självklart ett bet som lönar sig i längden. Hur menar du?
Varje gång du singlar är det 50/50 att du dubblar eller halverar det du har. I snitt, över tid, kommer du dubbla lika många gånger som du halverar. En dubblering är detsamma som att ta din nuvarande summa gånger två. En halvering är samma som att ta din nuvarande summa gånger 1/2. Eftersom vi i princip får lika många dubblingar som halveringar kan vi gruppera in dem i par om en dubbling och en halvering som då tar ut varandra. 2*1/2 = 1. Ex: Du börjar med A pengar.

A*2 = 2A
2A*1/2 = A
A*2 = 2A
2A*1/2 = A
A*2 = 2A
2A*1/2 = A
osv.

Det blir iofs. en annan sak om du inte satsar allt du har varje gång, utan satsar A varje gång. Då går du plus. Det kanske var så du menade från början?
"Jag är hälften grekisk gud, hälften sabeltandad tiger." - Thunder

Användarvisningsbild
bulsara
Inlägg: 21
Blev medlem: tor 05 apr 2007, 22:06

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av bulsara » ons 16 jan 2013, 13:35

Zartax skrev:
bulsara skrev:
Zartax skrev: Fast slantsinglingen lönar sig ju inte, men ja, det skulle löna sig att byta.
Jag förstår inte vad du menar, det är klart att den lönar sig. Om den potentiella vinsten är dubbelt så stor som den potentiella förlusten, och båda utfallen har 50 procents sannolikhet, så är det självklart ett bet som lönar sig i längden. Hur menar du?
Varje gång du singlar är det 50/50 att du dubblar eller halverar det du har. I snitt, över tid, kommer du dubbla lika många gånger som du halverar. En dubblering är detsamma som att ta din nuvarande summa gånger två. En halvering är samma som att ta din nuvarande summa gånger 1/2. Eftersom vi i princip får lika många dubblingar som halveringar kan vi gruppera in dem i par om en dubbling och en halvering som då tar ut varandra. 2*1/2 = 1. Ex: Du börjar med A pengar.

A*2 = 2A
2A*1/2 = A
A*2 = 2A
2A*1/2 = A
A*2 = 2A
2A*1/2 = A
osv.

Det blir iofs. en annan sak om du inte satsar allt du har varje gång, utan satsar A varje gång. Då går du plus. Det kanske var så du menade från början?
Jag försökte mig på ett analogi med kuvertexemplet och tänkte mig att jag får en summa pengar tillsammans med erbjudandet att singla slant om halva detta belopp. En ny spelomgång innebär att jag får en ny summa pengar med samma erbjudande. Jag menade sedan att erbjudandet var uppenbart fördelaktigt för mig, och det skulle gynna mig att nappa på det.

Användarvisningsbild
Zartax
Inlägg: 3406
Blev medlem: mån 05 nov 2007, 19:07

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Zartax » ons 16 jan 2013, 13:54

bulsara skrev:Jag försökte mig på ett analogi med kuvertexemplet och tänkte mig att jag får en summa pengar tillsammans med erbjudandet att singla slant om halva detta belopp. En ny spelomgång innebär att jag får en ny summa pengar med samma erbjudande. Jag menade sedan att erbjudandet var uppenbart fördelaktigt för mig, och det skulle gynna mig att nappa på det.
Ja, det är sant.
"Jag är hälften grekisk gud, hälften sabeltandad tiger." - Thunder

Användarvisningsbild
brimer
Inlägg: 1536
Blev medlem: tis 12 apr 2005, 17:01
Ort: Kiruna

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av brimer » ons 16 jan 2013, 14:09

Bild

Jag inser att det är hyfsat lätt att illustrera varför man får exakt samma sannolikhetsfördelning när man byter som när man inte byter kuvert i fallet med den geometriska serien. Om vi utgår från bilden.

1) Byter inte kuvert

Trivialt! Stapelns totala höjd anger ju precis sannolikheten för att Stefan ska få just A i det först kuvertet. Den resulterande fördelningen är precis den vi ser.

2) Byter kuvert

Vi tittar på varje fall för sig:

Stefan får A=1 i första kuvertet.
Det betyder att han 100% av gångerna kommer att få 2 kr om han byter kuvert. Vi flyttar då hela den blå stapeln till 2 (log2(A)=1)

Stefan får A=2 i första kuvertet.
-Det betyder att han 60% av gångerna kommer att få 1 kr om han byter kuvert. Vi flyttar då den röda stapeln till 1 (log2(A)=0)
-Det betyder att han 40% av gångerna kommer att få 4 kr om han byter kuvert. Vi flyttar då den blå stapeln till 4 (log2(A)=2)
-(notera att det röda stapeln är lika stor som, och tar, den blå stapelns plats från det förra fallet etc ...)
-(notera även att att väntevärdet för beloppet i det andra kuvertet blir 0.6*1+0.4*4=2.2 för just dessa isolerade fall)

Stefan får A=4 i första kuvertet.
-Det betyder att han 60% av gångerna kommer att få 2 kr om han byter kuvert. Vi flyttar då den röda stapeln till 2 (log2(A)=1)
-Det betyder att han 40% av gångerna kommer att få 8 kr om han byter kuvert. Vi flyttar då den blå stapeln till 8 (log2(A)=3)
-(notera att det röda stapeln är lika stor som, och tar, den blå stapelns plats från det förra fallet etc ...)
-(notera även att att väntevärdet för beloppet i det andra kuvertet blir 0.6*2+0.4*8=4.4 för just dessa isolerade fall)

:
:

Som ni märker blir det bara en omflyttning av staplar och man får i slutändan exakt samma fördelning. Därav är det, som intuitionen säger, helt oväsentligt om man byter kuvert eller ej. Situationerna är oskiljbara!

Väntevärdet ges i båda fallen av väntevärdet hos fördelningen (som ju enligt tidigare resonemang måste vara trunkerad).

Användarvisningsbild
Zartax
Inlägg: 3406
Blev medlem: mån 05 nov 2007, 19:07

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Zartax » ons 16 jan 2013, 14:22

Men illustrerar du inte fel sak nu? Givetvis är sannolikhetsfördelningarna likadana men förskjutna ett steg. Men det väsentliga är väl ändå väntevärdet?
"Jag är hälften grekisk gud, hälften sabeltandad tiger." - Thunder

Användarvisningsbild
brimer
Inlägg: 1536
Blev medlem: tis 12 apr 2005, 17:01
Ort: Kiruna

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av brimer » ons 16 jan 2013, 14:27

Zartax skrev:Men illustrerar du inte fel sak nu? Givetvis är sannolikhetsfördelningarna likadana men förskjutna ett steg. Men det väsentliga är väl ändå väntevärdet?
Det är ju i strikt mening bara EN sannolikhetsfördelning. Nämligen den för att få A i det första kuvertet. Färgerna illustrerar bara vilken andel av gångerna som A utgör det högre respektive lägre värdet. Väntevärdet av fördelningen är det väsentliga i båda fallen (byte eller ej) som sagt.

Användarvisningsbild
Tony
Inlägg: 1126
Blev medlem: lör 24 jun 2006, 13:12

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Tony » ons 16 jan 2013, 15:01

Vi har ett resonemang A som ger slutsatsen att man alltid ska byta och ett annat resonemang B som visar att man inte tjänar på att byta. Det är intuitivt uppenbart att B är rätt. Paradoxen är att både resonemang A och B ser riktiga ut, men motsäger varandra.

Att lösa paradoxen innebär att man förklarar var felet i A ligger, men alla lösningar som föreslagits i tråden är av formen : "B, därför är A fel", vilket naturligtvis är helt poänglöst.

Användarvisningsbild
brimer
Inlägg: 1536
Blev medlem: tis 12 apr 2005, 17:01
Ort: Kiruna

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av brimer » ons 16 jan 2013, 15:09

Tony skrev:Vi har ett resonemang A som ger slutsatsen att man alltid ska byta ...
Vilket resonemang är det? Att det är lika sannolikt att det andra kuvertet inehåller 2*A som att det inehåller A/2? Det stämmer ju inte som du ser! Sannolikheten för dessa två fall beror på beloppet A och hur kuverten har preparerats. Den KAN var 1/2,1/2 men behöver inte vara det.
Senast redigerad av 1 brimer, redigerad totalt 0 gånger.

Användarvisningsbild
Zartax
Inlägg: 3406
Blev medlem: mån 05 nov 2007, 19:07

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Zartax » ons 16 jan 2013, 15:11

brimer skrev:
Tony skrev:Vi har ett resonemang A som ger slutsatsen att man alltid ska byta ...
Vilket resonemang är det? Att det är lika sannolikt att det andra kuvertet inehåller 2*A som att det inehåller A/2? Det stämmer ju inte som du ser! Sannolikheten för dessa två fall beror på beloppet A och hur den har preparerats. Den KAN var 1/2,1/2 men behöver inte vara det.
Att väntevärdet är större för byte.
"Jag är hälften grekisk gud, hälften sabeltandad tiger." - Thunder

Användarvisningsbild
brimer
Inlägg: 1536
Blev medlem: tis 12 apr 2005, 17:01
Ort: Kiruna

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av brimer » ons 16 jan 2013, 15:13

Zartax skrev:
brimer skrev:
Tony skrev:Vi har ett resonemang A som ger slutsatsen att man alltid ska byta ...
Vilket resonemang är det? Att det är lika sannolikt att det andra kuvertet inehåller 2*A som att det inehåller A/2? Det stämmer ju inte som du ser! Sannolikheten för dessa två fall beror på beloppet A och hur den har preparerats. Den KAN var 1/2,1/2 men behöver inte vara det.
Att väntevärdet är större för byte.
För den geometriska fördelningen gäller det ju inte! Ge mig gärna ett exempel när det gäller! (dock inte en sannolikhetsfördelning som kräver en oändlig mängd pengar)

Användarvisningsbild
Zartax
Inlägg: 3406
Blev medlem: mån 05 nov 2007, 19:07

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Zartax » ons 16 jan 2013, 15:31

brimer skrev:För den geometriska fördelningen gäller det ju inte! Ge mig gärna ett exempel när det gäller! (dock inte en sannolikhetsfördelning som kräver en oändlig mängd pengar)
Då är det något jag inte förstår i ditt tidigare inlägg. Väntevärdet vid byte i båda de utskrivna exemplen är större än den summa man redan har. Alltså bör man byta. Och varför får vi inte använda en sannolikhetsfördelning som kräver oändlig mängd pengar?
"Jag är hälften grekisk gud, hälften sabeltandad tiger." - Thunder

Användarvisningsbild
brimer
Inlägg: 1536
Blev medlem: tis 12 apr 2005, 17:01
Ort: Kiruna

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av brimer » ons 16 jan 2013, 15:41

Zartax skrev:
brimer skrev:För den geometriska fördelningen gäller det ju inte! Ge mig gärna ett exempel när det gäller! (dock inte en sannolikhetsfördelning som kräver en oändlig mängd pengar)
Då är det något jag inte förstår i ditt tidigare inlägg. Väntevärdet vid byte i båda de utskrivna exemplen är större än den summa man redan har. Alltså bör man byta. Och varför får vi inte använda en sannolikhetsfördelning som kräver oändlig mängd pengar?
Troligvis beror det på att man summerar fall som inte är statistiskt oberoende. Jag måste titta närmare på hur man ska förstå det exakt. Det där med att trunkeringen är orsak till det som ser konstigt ut är jag iofs inte så säker på nu när jag inser att byte av kuvert bara innebär en omflyttning av staplar, och alltså inte ger en annan fördelning. Work in progress! Men andra fördelningar som påstås ha samma egenskaper är välkomna. Ska följa de länkar du gav tidigare.

Skriv svar