Stefan byter kuvert

Be om vetenskapliga förklaringar till upplevelser, fenomen och anekdoter som du funderat på.
Användarvisningsbild
kaxiga Z
Forummoderator
Inlägg: 17568
Blev medlem: tor 21 jun 2007, 07:44

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av kaxiga Z » ons 16 jan 2013, 15:53

matsw skrev:
kaxiga Z skrev: Att byta till (b) ger vinsten 0,1a minus förlusten 0,1b. Att istället stanna kvar på (a) ger vinsten 0,1b minus förlusten 0,1a.
Lite så ja. Tänk "kvantmekaniskt": du har två olika överlagrade fall med samma sannolikhet: de tar ut varandra.
Ja, det jag försöker ha i beräkning, är att om två personer, Alice o Bob får se varsitt kuvert, så tycker de paradoxalt nog båda att de ska byta till den andres kuvert. (Ifall de båda vet att väntevärdet på det andra kuvertet = t ex 1,25*(det som man har i handen)). "The grass is always greener in the other guy's envelope." Och sunt förnuft eller intuition, säger att de båda har fel, eftersom de två oöppnade kuverten båda har väntevärde 1,5X. Och spelat över tid, så verkar de båda få 1,5X, oavsett vilket kuvert de valt.

Men t ex Zartax/Micke.d säger alltså att man inte kan beräkna väntevärden så som jag skrev i citatet ovan. Ty Bobs öppnade kuvert är det fixa, för hans del, och väntevärde kan från hans synvinkel endast tilldelas den osedda summan (den som Alice ser). Den som han ännu inte vet. Väntevärde har med statistik/sannolikhet hos det ännu osedda, att göra. Men jag undrar det...även om jag vet summan i mitt öppnade kuvert (500), så vet jag inte hur 500 exakt förhåller sig till det Oöppnade (är 500 = 2*oöppnade, eller är 500 = 0,5*oöppnade?). Den detaljen är okänd...

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13376
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av micke.d » ons 16 jan 2013, 16:11

matsw skrev:
micke.d skrev: Nej, det stämmer inte alls. Vad tror ni att väntevärde betyder, egentligen?
medelvärdet vid ett oändligt antal försök.
micke.d skrev:Om jag har a, och får chansen att byta till något med väntevärde 1.1a, så är det rationellt att byta och jag kommer då, om samma försök upprepas många gånger, i långa loppet att tjäna på att byta.
Absolut. Och jag säger inget annat. Du har helt rätt. Om SAMMA försök upprepas många gånger så skulle man kunna tjäna på att byta (beroende på fördelning). Dvs först få ett värde och sedan välja att byta.

Saken är den att det är inte det försöket gäller: det du ska upprepa är: få två kuvert och välja det ena och sedan välja att byta. Ser du inte skillnaden?
Skillnaden mellan vad och vad?

Är du med på att varje gång Stefan öppnar det kuvert han valt, och där hittar ett visst belopp a, så kommer väntevärdet för det andra kuvertet (om Mia väljer belopp enligt den fördelning vi diskuterar) att vara 1.1a ?

Detsamma gäller om Stefan hittar något annat belopp a1 != a i första kuvertet. Då är väntevärdet för det andra kuvertet 1.1 * a1.
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13376
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av micke.d » ons 16 jan 2013, 16:27

kaxiga Z skrev:
micke.d skrev:Om jag har a, och får chansen att byta till något med väntevärde 1.1a, så är det rationellt att byta och jag kommer då, om samma försök upprepas många gånger, i långa loppet att tjäna på att byta.

Försöker ni hävda något annat så har ni en hel del att visa.
Problemet är nog att man hela tiden antar att väntevärdet i det oöppnade kuvertet, och min vinst över tiden, är samma sak.

Men det kan det inte vara.

Någonstans får man inse, att oavsett vilket värde det oöppnade kuvertet har, så är mina 500 kr (kuvertA) = ca 1,1*(det oöppnade kuvertet) ( = 1,1b) Byter jag har jag gått från 1,1b till b. Eller hur?
Nej, eftersom du blandar väntevärden och faktiska värden.

Om du hade valt kuvert nummer två och där hittat värdet b, så gäller det inte att b = 1.1a. (a är värdet som finns i första kuvertet.) Det är väntevärdet för kuvert två som är 1.1a, och omvänt om du öppnar andra kuvertet först så är det väntevärdet för första som är 1.1b.

Förhållandet mellan det faktiska värdet i ett kuvert och väntevärdet för samma kuvert är okänt, det går inte att byta mellan dessa hur som helst.
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
matsw
Inlägg: 7263
Blev medlem: fre 10 feb 2006, 23:20

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av matsw » ons 16 jan 2013, 18:18

micke.d skrev:Är du med på att varje gång Stefan öppnar det kuvert han valt, och där hittar ett visst belopp a, så kommer väntevärdet för det andra kuvertet (om Mia väljer belopp enligt den fördelning vi diskuterar) att vara 1.1a ?
Låt oss se. Hur skulle man genomföra försöken?

1) slumpa fram det minsta talet enligt den fördelning F vi diskuterar o därmed även det största talet.
2) välj ett av talen slumpmässigt (välj 50/50 sannolikhet för enkelhets skull).
3) lägg värdet för det andra talet i en "A-burk" för det valda värdet (de finns alltså en separat burk för varje tal)
4) gå tillbaka till 1 tillräckligt många gånger.
5) räkna ut medelvärdet för varje "A-burk".

Det du säger är att "burken" för varje värde a har medelvärde ~ 1.1a (om vi gjort stegen 1-3 tillräckligt många gånger).

Gör nu om försöket men lägg till följande steg:
3b) lägg värdet för det valda talet i en "B-burk" för det andra värdet (det finns alltså här en separat "B-burk" för varje tal)
5b) räkna ut medelvärdet för varje "B-burk"

Enligt vad du själv säger kommer varje "burk B" för varje värde b att innehålla ~ 1.1b.

Så långt har du antagligen helt rätt. Men det är inte det väntevärdet som är intressant. Det som ÄR intressant är det här:

1) slumpa fram det minsta talet enligt den fördelning F vi diskuterar o därmed även det största talet.
2) välj ett av talen slumpmässigt (välj 50/50 sannolikhet för enkelhets skull).
3) lägg värdet för det valda talet i en enda "A-burk" och värdet det icke dragna värdet i en enda B-burk.
4) gå tillbaka till 1 tillräckligt många gånger.

Vilken burk innehåller mest? A eller B-burken? Det är helt uppenbart att svaret på den frågan inte har ett dyft med fördelningen F att göra, eller hur?
det väsentliga är inte vad man vet utan hur man vet det.

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13376
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av micke.d » ons 16 jan 2013, 18:38

matsw skrev:Det som ÄR intressant är det här:

1) slumpa fram det minsta talet enligt den fördelning F vi diskuterar o därmed även det största talet.
2) välj ett av talen slumpmässigt (välj 50/50 sannolikhet för enkelhets skull).
3) lägg värdet för det valda talet i en enda "A-burk" och värdet det icke dragna värdet i en enda B-burk.
4) gå tillbaka till 1 tillräckligt många gånger.

Vilken burk innehåller mest? A eller B-burken? Det är helt uppenbart att svaret på den frågan inte har ett dyft med fördelningen F att göra, eller hur?
Det har med fördelningen att göra. För den aktuella fördelningen är det så att medelvärdena inte kommer att konvergera. Medelvärdet för vardera burken kommer att växa över alla gränser.

Det är vad det innebär att E[A] är oändligt, respektive att E är oändligt.

Det går således inte att förutse vilken burk som kommer att innehålla mest.
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
Tony
Inlägg: 1126
Blev medlem: lör 24 jun 2006, 13:12

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Tony » ons 16 jan 2013, 18:56

matsw skrev:<resonemang B>
Att det inte lönar sig att byta är väl rätt uppenbart för alla? Det är inte argument för det som vi vill ha. Det som är intressant är att förklara vad det är för fel på resonemanget som kommer fram till att man tjänar på att byta.

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13376
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av micke.d » ons 16 jan 2013, 19:37

Tony skrev:Att det inte lönar sig att byta är väl rätt uppenbart för alla?
Nej, det är det inte.

Vad jag förstår är det verkligen så att det kan vara så att
a) Stefan förlorar på att byta, eller
b) det spelar ingen roll om Stefan byter, eller
c) Stefan tjänar på att byta,

... beroende på den fördelning som styr hur Mia lägger belopp i kuverten.

Utan kännedom om den fördelningen så är det antagligen så att Stefan bör välja att byta tills han kan skatta fördelningen, och sedan välja utifrån den kunskap han då skaffat sig.
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
matsw
Inlägg: 7263
Blev medlem: fre 10 feb 2006, 23:20

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av matsw » ons 16 jan 2013, 19:43

micke.d skrev:
matsw skrev:Det som ÄR intressant är det här:

1) slumpa fram det minsta talet enligt den fördelning F vi diskuterar o därmed även det största talet.
2) välj ett av talen slumpmässigt (välj 50/50 sannolikhet för enkelhets skull).
3) lägg värdet för det valda talet i en enda "A-burk" och värdet det icke dragna värdet i en enda B-burk.
4) gå tillbaka till 1 tillräckligt många gånger.

Vilken burk innehåller mest? A eller B-burken? Det är helt uppenbart att svaret på den frågan inte har ett dyft med fördelningen F att göra, eller hur?
Det har med fördelningen att göra. För den aktuella fördelningen är det så att medelvärdena inte kommer att konvergera. Medelvärdet för vardera burken kommer att växa över alla gränser.

Det är vad det innebär att E[A] är oändligt, respektive att E är oändligt.

Det går således inte att förutse vilken burk som kommer att innehålla mest.


Det spelar ingen roll att burkarnas innehåll går mot oändligheten eftersom det är E[A]/E som är intressant och det går mot 1.

Dvs det spelar ingen roll om man byter.
det väsentliga är inte vad man vet utan hur man vet det.

Användarvisningsbild
bulsara
Inlägg: 21
Blev medlem: tor 05 apr 2007, 22:06

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av bulsara » ons 16 jan 2013, 22:50

Tony skrev:Vi har ett resonemang A som ger slutsatsen att man alltid ska byta och ett annat resonemang B som visar att man inte tjänar på att byta. Det är intuitivt uppenbart att B är rätt. Paradoxen är att både resonemang A och B ser riktiga ut, men motsäger varandra.

Att lösa paradoxen innebär att man förklarar var felet i A ligger, men alla lösningar som föreslagits i tråden är av formen : "B, därför är A fel", vilket naturligtvis är helt poänglöst.
Jag tycker i och för sig jag har visat vari felet ligger, och även om jag inte tycks få med mig någon annan på det är jag personligen nöjd med svaret.

Jag försöker igen: förutsättningen för hela exemplet är att det för varje summa är 50 procents chans att det andra kuvertet innehåller halva summan, och lika stor chans att det är den dubbla. Men detta går inte att genomföra. För varje par kuvert du använder måste du i så fall använda ytterligare ett par med den dubbla summan. Och så vidare. Varje nytt par skapar den femtioprocentiga sannolikheten jag var ute efter för de summor som redan var med i spelet, men lägger till en summa där det inte är 50/50. Du har ett hål du inte kan fylla igen med mer än att du skapar ytterligare ett hål. (Noga räknat har man ett hål även neråt i talserien, men det känns inte lika viktigt.)

Vinsten på 0,25 x vid byte ligger i du räknar med att du kan byta från den lilla summan till den större i den potentiellt sista paret, men att du inte räknar med förlusten du kan råka ut för om du byter ner dig i detta par, eftersom du löser detta med att alltid tänka dig ytterligare ett par med större summor i. Detta nästa par löser visserligen problemet med det (numera) näst sista paret med skapar som sagt själv samma problem. I övrigt går spelet jämt ut.

Det blir lite som jag tar ett förskott på morgondagens lön på hundra kronor, och i morgon tar ytterligare ett förskott för dagen efter det på 200 och betalar tillbaka skulden och så vidare.

Är jag verkligen helt ute och cyklar?

För övrigt noterar jag att jag kraftigt ökat min närvaro på detta forum från tidigare 1 inlägg per 5 år, till snart 20 på mindre än en vecka. Om denna ökningstakt håller i sig, hur många inlägg kommer jag då att posta totalt i år?

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13376
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av micke.d » tor 17 jan 2013, 00:03

matsw skrev:det är E[A]/E som är intressant och det går mot 1.
Hur vet du det?
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
brimer
Inlägg: 1536
Blev medlem: tis 12 apr 2005, 17:01
Ort: Kiruna

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av brimer » tor 17 jan 2013, 05:52

Jag har ju här visat exakt varför man genom att alltid välja "det andra" kuvertet (B) får exakt samma fördelning och resultat i fallet med den geometriska fördelningen. Detta till trots att väntevärdet blir 1.1*a för de kuvert B som där A inehåller en viss summa a (2*a i fallet då a=1).

A och B är helt symmetriska. Det blir bara en omflyttning av staplar. Se tabellen nedan. Väntevärdet för alla tal i högerkolumnen (A) med vilkoret att vänsterkolumnen (B) är 4 blir 4.4 etc etc.

Men detta påverkar inte hur många 4or det finns i respektive kolumn, vilket är lika!,

Att välja en 4a i höger kolumn har inget att göra med att välja en 4a i vänster. Det är kopplat till de fall då man väljer 2or och 8or i vänster kolumn. Så fördelningarna för höger och vänster kolumn exakt lika med samma totala väntevärde.

Kod: Markera allt

           1           2
           4           2
           4           2
           2           1
           4           8
         128         256
           4           2
         128         256
         256         128
          32          64
           8           4
          64         128
           4           8
           8           4
           2           1
           4           8
           2           4
           1           2
           :           :

Användarvisningsbild
matsw
Inlägg: 7263
Blev medlem: fre 10 feb 2006, 23:20

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av matsw » tor 17 jan 2013, 06:09

micke.d skrev:
matsw skrev:det är E[A]/E som är intressant och det går mot 1.
Hur vet du det?

Pga symmetrin: Förfarandet för det som läggs i A-burken och det som läggs i B-burken är identiskt.
det väsentliga är inte vad man vet utan hur man vet det.

Användarvisningsbild
matsw
Inlägg: 7263
Blev medlem: fre 10 feb 2006, 23:20

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av matsw » tor 17 jan 2013, 07:21

Tony skrev:
matsw skrev:<resonemang B>
Att det inte lönar sig att byta är väl rätt uppenbart för alla? Det är inte argument för det som vi vill ha. Det som är intressant är att förklara vad det är för fel på resonemanget som kommer fram till att man tjänar på att byta.
Då ska jag förklara vad som är fel med resonemang A:

För att räkna ut vad som är fördelaktigt måste man räkna ut väntevärdet av summan av alla värden som dras, E[sum(a)], samt väntevärdet av alla värden som inte dras, E[sum(b)] och beräkna förhållandet mellan dem:

R = E[sum(a)] / E[sum(b)]

Om R < 1 ska man byta.

Det som felaktigt används istället ("resonemang A") är förhållandet mellan väntevärdena på värdenas belopp vid en dragning för ett specifikt värde.

Hur det är tänkt att vara ett bra sätt att räkna ut R vet jag inte men jag misstänker att man underförstått tänker sig att förhållandet av väntevärdet av summan av värdena är lika med summan av förhållandet mellan väntevärdena för specifika värdet samt antar man att väntevärdet för a är 1 vilket ger det felaktiga uttrycket:

R = Sum(1/E[b:a]) over all possible values of a.
det väsentliga är inte vad man vet utan hur man vet det.

Användarvisningsbild
Zartax
Inlägg: 3406
Blev medlem: mån 05 nov 2007, 19:07

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Zartax » tor 17 jan 2013, 09:37

micke.d skrev:
Tony skrev:Att det inte lönar sig att byta är väl rätt uppenbart för alla?
Nej, det är det inte.

Vad jag förstår är det verkligen så att det kan vara så att
a) Stefan förlorar på att byta, eller
b) det spelar ingen roll om Stefan byter, eller
c) Stefan tjänar på att byta,

... beroende på den fördelning som styr hur Mia lägger belopp i kuverten.

Utan kännedom om den fördelningen så är det antagligen så att Stefan bör välja att byta tills han kan skatta fördelningen, och sedan välja utifrån den kunskap han då skaffat sig.
Tänk dig att vi har två personer som alltid väljer varsitt kuvert och öppnar. Väntevärdet för båda om de byter är 1.1*'det de har i sitt kuvert'. Båda kan inte i snitt tjäna på att byta varje gång men det är det strategin säger. Alltså är strategin att alltid byta felaktig. Frågan är, som Tony säger, varför.
Senast redigerad av 1 Zartax, redigerad totalt 0 gånger.
"Jag är hälften grekisk gud, hälften sabeltandad tiger." - Thunder

Användarvisningsbild
Zartax
Inlägg: 3406
Blev medlem: mån 05 nov 2007, 19:07

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Zartax » tor 17 jan 2013, 09:48

bulsara skrev:Jag tycker i och för sig jag har visat vari felet ligger, och även om jag inte tycks få med mig någon annan på det är jag personligen nöjd med svaret.

Jag försöker igen: förutsättningen för hela exemplet är att det för varje summa är 50 procents chans att det andra kuvertet innehåller halva summan, och lika stor chans att det är den dubbla. Men detta går inte att genomföra. För varje par kuvert du använder måste du i så fall använda ytterligare ett par med den dubbla summan. Och så vidare. Varje nytt par skapar den femtioprocentiga sannolikheten jag var ute efter för de summor som redan var med i spelet, men lägger till en summa där det inte är 50/50. Du har ett hål du inte kan fylla igen med mer än att du skapar ytterligare ett hål. (Noga räknat har man ett hål även neråt i talserien, men det känns inte lika viktigt.)

Vinsten på 0,25 x vid byte ligger i du räknar med att du kan byta från den lilla summan till den större i den potentiellt sista paret, men att du inte räknar med förlusten du kan råka ut för om du byter ner dig i detta par, eftersom du löser detta med att alltid tänka dig ytterligare ett par med större summor i. Detta nästa par löser visserligen problemet med det (numera) näst sista paret med skapar som sagt själv samma problem. I övrigt går spelet jämt ut.

Det blir lite som jag tar ett förskott på morgondagens lön på hundra kronor, och i morgon tar ytterligare ett förskott för dagen efter det på 200 och betalar tillbaka skulden och så vidare.

Är jag verkligen helt ute och cyklar?
Nja. Grejen är att oändliga serier, som den du beskriver, inte är något problem inom matematiken tack vare t.ex. gränsvärden. Så just det att du måste ha oändligt många par är inte ett problem, matematiskt. I praktiken, ja, men det som diskuteras här är varför det matematiska fenomenet uppstår. Det borde det inte, om matematik hänger ihop och det hoppas jag verkligen att det gör! :)

I specialfallet du nämner, med en sannolikhet på 50/50 så finns det en matematisk förklaring till varför det blir en paradox och det är att alla utfall får sannolikheten noll eftersom 50/50 kräver att alla par ska ha samma sannolikhet att inträffa. Men i den fördelning vi diskuterar, så finns det ett tydligt uttryck för sannolikheten för varje par som inte är noll och alltså går det inte att lösa på samma sätt. Det är var lösningen ligger i det problemet som vi diskuterar nu.

bulsara skrev:För övrigt noterar jag att jag kraftigt ökat min närvaro på detta forum från tidigare 1 inlägg per 5 år, till snart 20 på mindre än en vecka. Om denna ökningstakt håller i sig, hur många inlägg kommer jag då att posta totalt i år?
Rätt många, hoppas jag! :smile2:
"Jag är hälften grekisk gud, hälften sabeltandad tiger." - Thunder

Skriv svar