Allvetande och mängdlära

Här kan du diskutera religiösa ämnen som inte direkt rör vetenskap eller folkbildning.
Användarvisningsbild
Moridin
Avstängd
Inlägg: 16253
Blev medlem: tor 10 jan 2008, 11:32

Allvetande och mängdlära

Inlägg av Moridin » tis 20 apr 2010, 18:55

Här är ett intressant resonemang jag fick presenterat för mig häromdagen.

Anta att allvetande O är definerat som den mängd som innehåller alla sanna propositoner (om den traditionella abrahamiska guden borde denna rimligtvis känna till alla sanningar)

O = {X(1), X(2), X(3),..., X (n)}

Ur denna kan vi bilda mängden O' som innehåller alla delmängder av O:

O' = {X(1), X(2), X(3),..., X (n), X(1) ∧ x(2), .... }

Per definition innehåller O' mer element än O, då O' innehåller alla element i O, fast sedan ytterligare alla mäjliga delmängder av O på toppen av detta. Problemet kommer när vi inser att även kombinationen av sanna propositioner i sig är sanna, så O' måste ha färre än eller lika många element som O, för alla propositioner i O' är sanna, och O är definerad som den mängd som innehåller alla sanna propositioner. Vi får då att O' är både en äkta delmängd och inte en äkta delmängd av O, vilket betyder att mängden av alla sanna propositioner, och därmed allvetande är en logisk motsägelse och kan inte existera.

Kanske en artifakt av naiv mängdlära, men en kul grej ändå.
Either you believe evidence that can be tested, verified, and repeated will lead to a better understanding of reality, or you do not. - Michael Specter
|AIDSTruth | Evidens för makroevolution | Skeptical Science|

Användarvisningsbild
swooch
Inlägg: 983
Blev medlem: lör 07 apr 2007, 17:49

Re: Allvetande och mängdlära

Inlägg av swooch » tis 20 apr 2010, 19:14

Tänkte komma med en kritik, men googlade sedan i 30s och kom av mig. Så enkelt var det inte.

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13375
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Allvetande och mängdlära

Inlägg av micke.d » tis 20 apr 2010, 22:15

Moridin skrev: O = {X(1), X(2), X(3),..., X (n)}

Ur denna kan vi bilda mängden O' som innehåller alla delmängder av O:

O' = {X(1), X(2), X(3),..., X (n), X(1) ∧ x(2), .... }
Din notation är uppenbart felaktig, eftersom O uppenbart har oändligt antal element. Det finns inget sista element i mängden O. O är nog inte ens uppräkningsbar, men det ids jag inte tänka igenom.

Därför blir nog hela argumentet fel. Utan att ha tänkt färdigt så förefaller det som om O = O', O bör ju helt klart vara sluten under ∧.
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
Moridin
Avstängd
Inlägg: 16253
Blev medlem: tor 10 jan 2008, 11:32

Re: Allvetande och mängdlära

Inlägg av Moridin » ons 21 apr 2010, 09:44

micke.d skrev:
Moridin skrev: O = {X(1), X(2), X(3),..., X (n)}

Ur denna kan vi bilda mängden O' som innehåller alla delmängder av O:

O' = {X(1), X(2), X(3),..., X (n), X(1) ∧ x(2), .... }
Din notation är uppenbart felaktig, eftersom O uppenbart har oändligt antal element. Det finns inget sista element i mängden O. O är nog inte ens uppräkningsbar, men det ids jag inte tänka igenom.

Därför blir nog hela argumentet fel. Utan att ha tänkt färdigt så förefaller det som om O = O', O bör ju helt klart vara sluten under ∧.
O = {X(1), X(2), X(3), ...}
O' = {X(1), X(2), X(3),..., X(1) ∧ x(2), .... }

Bättre?

Förresten finns det ett oändligt antal element i de naturliga talen N = {1, 2, 3, ...} och i R, men R har fler element än N i och med att du kan kvitta bort alla element i N med element i R och ändå ha ett oändligt antal tal kvar. Ditt felslut är att du tänker dig alla oändliga mängder som lika stora, eller mer precist "oändligt" som en finit antal.

På samma sätt kan inte O = O', för man kan kvitta bort Os alla element från O, och ha en oändligt antal element kvar. Samtidigt måste givetvis O vara lika stor eller större som O', i och med att O per defintion innehåller alla sanna propositioner.

Alltså

((O -> P) ∧ (O -> ~P )) -> ~O,

där P är propositionen att O innehåller färre eller lika många element som O'.

Dock är det huvudsakliga problemet är att mitt resonemang är baserat på naiv mängdlära.
Either you believe evidence that can be tested, verified, and repeated will lead to a better understanding of reality, or you do not. - Michael Specter
|AIDSTruth | Evidens för makroevolution | Skeptical Science|

Användarvisningsbild
brimer
Inlägg: 1536
Blev medlem: tis 12 apr 2005, 17:01
Ort: Kiruna

Re: Allvetande och mängdlära

Inlägg av brimer » ons 21 apr 2010, 09:59

Moridin skrev:Här är ett intressant resonemang jag fick presenterat för mig häromdagen.

Anta att allvetande O är definerat som den mängd som innehåller alla sanna propositoner (om den traditionella abrahamiska guden borde denna rimligtvis känna till alla sanningar)

O = {X(1), X(2), X(3),..., X (n)}

Ur denna kan vi bilda mängden O' som innehåller alla delmängder av O:

O' = {X(1), X(2), X(3),..., X (n), X(1) ∧ x(2), .... }

Per definition innehåller O' mer element än O, då O' innehåller alla element i O, fast sedan ytterligare alla mäjliga delmängder av O på toppen av detta. Problemet kommer när vi inser att även kombinationen av sanna propositioner i sig är sanna, så O' måste ha färre än eller lika många element som O, för alla propositioner i O' är sanna, och O är definerad som den mängd som innehåller alla sanna propositioner. Vi får då att O' är både en äkta delmängd och inte en äkta delmängd av O, vilket betyder att mängden av alla sanna propositioner, och därmed allvetande är en logisk motsägelse och kan inte existera.

Kanske en artifakt av naiv mängdlära, men en kul grej ändå.
X(1) ∧ X(2) är väl inte samma sak som delmängden {X(1), X(2)}? Vad är skillnaden från:

Anta att O är definerat som den mängd som innehåller alla heltal

O = {1, 2, 3,...}

Ur denna kan vi bilda mängden O' som innehåller alla delmängder av O:

O' = {1, 2, 3,..., 1 + 2, .... }
...

1 + 2 är summan av två heltal, inte delmängden!

Användarvisningsbild
kaxiga Z
Forummoderator
Inlägg: 17568
Blev medlem: tor 21 jun 2007, 07:44

Re: Allvetande och mängdlära

Inlägg av kaxiga Z » ons 21 apr 2010, 10:01

Den första premissen i TS håller inte eftersom O är oändligt långt, som Micke.d och brimer påpekar; tänk på att 1+3=4 är en sann sats...

Användarvisningsbild
Moridin
Avstängd
Inlägg: 16253
Blev medlem: tor 10 jan 2008, 11:32

Re: Allvetande och mängdlära

Inlägg av Moridin » ons 21 apr 2010, 10:39

kaxiga Z skrev:X(1) ∧ X(2) är väl inte samma sak som delmängden {X(1), X(2)}? [...] Den första premissen i TS håller inte eftersom O är oändligt långt, som Micke.d och brimer påpekar; tänk på att 1+3=4 är en sann sats...
- Du blandar ihop tal med propositioner. "1" och "3" är ingen sats, det är tal. Tänk på "x(1) ∧ x(2)" som "2+2=4 och 2+3=6".
- Ja, O är oändligt lång, men O' är också oändligt lång fast längre. Oändligt lång är inget det sista talet som kan kan nå till.
- Du har nog rätt, ersätt X(1) ∧ X(2) med {X(1), X(2)}, men detta verkar inte förändra argumentet.

O = {X(1), X(2), X(3), ...}
O' = {X(1), X(2), X(3),..., {X(1), x(2)}, .... }
Either you believe evidence that can be tested, verified, and repeated will lead to a better understanding of reality, or you do not. - Michael Specter
|AIDSTruth | Evidens för makroevolution | Skeptical Science|

Användarvisningsbild
kaxiga Z
Forummoderator
Inlägg: 17568
Blev medlem: tor 21 jun 2007, 07:44

Re: Allvetande och mängdlära

Inlägg av kaxiga Z » ons 21 apr 2010, 10:43

Moridin skrev:- Du blandar ihop tal med propositioner. "1" och "3" är ingen sats, det är tal.
nej, 1 och 3 är inga satser, vilket jag inte heller påstod; det är tal: Däremot är "1+3=4" en sats, precis som jag skrev. Tänk på att varje tal förhåller sig till varje annat tal på flera sätt. Det finns alltså ett oändligt antal sanna satser.

Användarvisningsbild
anundi
Inlägg: 7390
Blev medlem: mån 19 maj 2008, 20:50
Kontakt:

Re: Allvetande och mängdlära

Inlägg av anundi » ons 21 apr 2010, 12:03

Moridin skrev:Dock är det huvudsakliga problemet är att mitt resonemang är baserat på naiv mängdlära.
Varför gör det skillnad? Är det inte "bara" att betrakta/definiera elementen som mängder så är man förbi det naiva? (Jag har väldigt lite mängdlära i bagaget, så...).

@antteist | @skeptikerpodden | @skeptikerskolan | @tankebrott
Skeptikerpodden | Skeptikerskolan | Tankebrott

Användarvisningsbild
Moridin
Avstängd
Inlägg: 16253
Blev medlem: tor 10 jan 2008, 11:32

Re: Allvetande och mängdlära

Inlägg av Moridin » ons 21 apr 2010, 12:17

kaxiga Z skrev:
Moridin skrev:- Du blandar ihop tal med propositioner. "1" och "3" är ingen sats, det är tal.
nej, 1 och 3 är inga satser, vilket jag inte heller påstod; det är tal: Däremot är "1+3=4" en sats, precis som jag skrev. Tänk på att varje tal förhåller sig till varje annat tal på flera sätt. Det finns alltså ett oändligt antal sanna satser.
Nej, för den mängden är samtidigt en delmängd till sig själv och inte en delmängd till sig själv. Det är en variant på http://mathworld.wolfram.com/RussellsAntinomy.html, vilket är svaret på
Either you believe evidence that can be tested, verified, and repeated will lead to a better understanding of reality, or you do not. - Michael Specter
|AIDSTruth | Evidens för makroevolution | Skeptical Science|

Användarvisningsbild
Erland
Inlägg: 3426
Blev medlem: lör 19 nov 2005, 21:08
Ort: Karlskoga

Re: Allvetande och mängdlära

Inlägg av Erland » ons 21 apr 2010, 12:52

En mängd av propositioner är inte en proposition. Resonemanget håller därför inte.

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13375
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Allvetande och mängdlära

Inlägg av micke.d » ons 21 apr 2010, 15:09

Moridin skrev:
O = {X(1), X(2), X(3), ...}
O' = {X(1), X(2), X(3),..., X(1) ∧ x(2), .... }

Bättre?
Mycket, men din notation antyder fortfarande att mängden av alla sanna propositioner är uppräkningsbar. Det är den inte. För varje reellt tal r, så finns ju t ex propositionen "r är ett reellt tal", så O är helt klart inte uppräkningsbar. Den är minst lika mäktig som mängden av de reella talen.
Moridin skrev: Ditt felslut
Onej. Ditt missförstånd.
Moridin skrev:
På samma sätt kan inte O = O', för man kan kvitta bort Os alla element från O, och ha en oändligt antal element kvar.
Det räcker att det finns ett sätt att matcha elementen så att varje element i vardera mängden har en motsvarighet i den andra, för att mängderna ska ha samma kardinalitet. Man behöver inte matcha element x i O mot samma element x i O'.

Fråga: Jag är osäker på din notation.
Om "1.0 är ett reellt tal" och "2.0 är ett reellt tal" är propositioner, är det då någon skillnad mellan
"1.0 är ett reellt tal och 2.0 är ett reellt tal"
och
"1.0 är ett reellt tal" ∧ "2.0 är ett reellt tal"
?
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13375
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Allvetande och mängdlära

Inlägg av micke.d » ons 21 apr 2010, 22:20

Ok, nu har jag uppfriskat mitt minne angående propositioner (Wikipedia).
Wikipedia skrev:In mathematical logic, propositions, also called "propositional formulas" or "statement forms", are statements that do not contain quantifiers. They are composed of well-formed formulas consisting entirely of atomic formulas, the five logical connectives ...
Det intressanta biten information här är att propositioner kan innehålla logiska konnektiv, t ex ∧. Det innebär att mängderna O och O' är exakt lika. För om man tar en godtycklig delmängd propositioner ur O och sätter ihop dem med det logiska konnektivet ∧, så kommer resultatet också att finnas i O.

Så resonemanget faller. Hardly surprising.
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13375
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Allvetande och mängdlära

Inlägg av micke.d » ons 21 apr 2010, 22:29

Moridin skrev: Per definition innehåller O' mer element än O
Det är alltså här felet ligger. Ovanstående är ett falskt påstående.
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
Étale
Inlägg: 570
Blev medlem: fre 25 dec 2009, 20:47

Re: Allvetande och mängdlära

Inlägg av Étale » tor 22 apr 2010, 08:26

micke.d skrev:
Moridin skrev: Per definition innehåller O' mer element än O
Det är alltså här felet ligger. Ovanstående är ett falskt påstående.
Om man utgår från att O' är mängden av alla delmängder till O är det ett sant påstående. http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor's_theorem

Men som du säger, problemet med Moridins resonemang är att "O(a) ∧ O(b)" inte betyder samma sak som "{O(a),O(b)}".

Skriv svar