Stefan byter kuvert

Be om vetenskapliga förklaringar till upplevelser, fenomen och anekdoter som du funderat på.
Användarvisningsbild
bulsara
Inlägg: 21
Blev medlem: tor 05 apr 2007, 22:06

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av bulsara » tor 17 jan 2013, 10:35

Zartax skrev: Nja. Grejen är att oändliga serier, som den du beskriver, inte är något problem inom matematiken tack vare t.ex. gränsvärden. Så just det att du måste ha oändligt många par är inte ett problem, matematiskt. I praktiken, ja, men det som diskuteras här är varför det matematiska fenomenet uppstår. Det borde det inte, om matematik hänger ihop och det hoppas jag verkligen att det gör! :)

I specialfallet du nämner, med en sannolikhet på 50/50 så finns det en matematisk förklaring till varför det blir en paradox och det är att alla utfall får sannolikheten noll eftersom 50/50 kräver att alla par ska ha samma sannolikhet att inträffa. Men i den fördelning vi diskuterar, så finns det ett tydligt uttryck för sannolikheten för varje par som inte är noll och alltså går det inte att lösa på samma sätt. Det är var lösningen ligger i det problemet som vi diskuterar nu.
Jag förstår inte vad du menar med att 50/50 skulle vara ett specialfall. Det är ju en premiss i exemplet, och det som skapar själva paradoxen. Om det inte är lika stor chans att summan jag får matchas av hälften som av det dubbla, så finns ju ingen paradox. Eller missar jag något uppenbart? Jag hör dig när du säger att du diskuterar en fördelning där sannolikheten för varje par inte är noll, vilket tydligen utesluter 50/50, men jag förstår inte hur du kan plocka bort 50/50 ur exemplet och fortfarande prata om det som vore det samma problem.

Sedan är det inte att det krävs oändligt med par som är mitt problem (även om jag uttryckt det så tidigare) utan att jag inte ser hur man någonsin kan uppnå den femtioprocentiga sannolikhet som krävs, även om man kastar in oändligt med par. Det krävs alltid ett par med högre summor för att skapa en femtioprocentig sannolikhet för de summor som redan är med i spelet, men varje sådant par ger en ny summa som in i sin tur måste matchas osv.

För mig är det som att man tar ett lån på 100 kronor med 100 procents ränta, sedan tar ett lån på 200 för att betala tillbaka osv. Även med ett oändligt antal lån kommer skulden aldrig att betalas tillbaka, eftersom en skuld alltid uppstår.

Användarvisningsbild
Zartax
Inlägg: 3406
Blev medlem: mån 05 nov 2007, 19:07

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Zartax » tor 17 jan 2013, 11:20

bulsara skrev:Jag förstår inte vad du menar med att 50/50 skulle vara ett specialfall. Det är ju en premiss i exemplet, och det som skapar själva paradoxen. Om det inte är lika stor chans att summan jag får matchas av hälften som av det dubbla, så finns ju ingen paradox. Eller missar jag något uppenbart? Jag hör dig när du säger att du diskuterar en fördelning där sannolikheten för varje par inte är noll, vilket tydligen utesluter 50/50, men jag förstår inte hur du kan plocka bort 50/50 ur exemplet och fortfarande prata om det som vore det samma problem.
Ok, specialfall kanske var fel ord men det är inte ett krav för paradoxen. Det enda som är ett krav för paradoxen är att du har en sannolikhet för kuverten och en utdelning som tillsammans alltid ger antingen en vinst eller förlust vid byte av kuvert, oavsett vilken summa som visas i det valda kuvertet. I det fall vi andra diskuterar nu är det t.ex. 60% risk att få hälften och 40% chans att få dubbelt. Det blir ändå en paradox eftersom väntevärdet inte är 1 för ett byte. Dvs, i snitt kommer du få mer pengar om du byter, vilket är paradoxalt eftersom man då skulle kunna ha två personer som fick varsitt kuvert, öppnade dem, och sedan skulle båda tjäna på att byta, i snitt.

bulsara skrev:Sedan är det inte att det krävs oändligt med par som är mitt problem (även om jag uttryckt det så tidigare) utan att jag inte ser hur man någonsin kan uppnå den femtioprocentiga sannolikhet som krävs, även om man kastar in oändligt med par. Det krävs alltid ett par med högre summor för att skapa en femtioprocentig sannolikhet för de summor som redan är med i spelet, men varje sådant par ger en ny summa som in i sin tur måste matchas osv.
Ja. Vilket ger oändligt många par. Oändligheten har inget tak, det finns alltid ett högre par. Det är det som är oändligheten.
"Jag är hälften grekisk gud, hälften sabeltandad tiger." - Thunder

Användarvisningsbild
bulsara
Inlägg: 21
Blev medlem: tor 05 apr 2007, 22:06

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av bulsara » tor 17 jan 2013, 12:08

Zartax skrev:Ja. Vilket ger oändligt många par. Oändligheten har inget tak, det finns alltid ett högre par. Det är det som är oändligheten.
Fast det är jag med på (även om jag har lite svårt att hantera oändligheter, vilket gör att det kanske är där jag har fel i alla fall). Min poäng var att jag inte ser hur ett oändligt antal par lyckas med att skapa en sannolikhet som gäller för alla summor (må så vara att du hellre vill tala om 60/40 än 50/50; det har jag egentligen inga synpunkter på). Eftersom varje nytt par återskapar samma problem som det löser, ser jag inte varför ett oändligt antal par gör någon skillnad.

Därav min liknelse med lånet. Även om varje nytt lån betalar av hela din gamla skuld blir du aldrig skuldfri, eftersom varje lån också skapar en ny skuld. Inte ens med ett oändligt antal lån blir du någonsin skuldfri. Det håller du väl med om? Jag tycker det är samma sak här, men du får gärna förklara varför analogin inte håller.

Hur jag än vrider på det tycker jag att vinsten med bytet ligger i att du för varje summa räknar med en potentiell högre summa, men inte räknar med förlusten att byta till denna summa från en ännu högre. Genom att räkna med ett oändligt antal par får man med den sista vinsten, men aldrig den sista förlusten (eftersom den trollas bort genom att anta ett nytt par). Även om du inte håller med hoppas jag du ser hur jag tänker.

Användarvisningsbild
Zartax
Inlägg: 3406
Blev medlem: mån 05 nov 2007, 19:07

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Zartax » tor 17 jan 2013, 13:04

bulsara skrev:Fast det är jag med på (även om jag har lite svårt att hantera oändligheter, vilket gör att det kanske är där jag har fel i alla fall). Min poäng var att jag inte ser hur ett oändligt antal par lyckas med att skapa en sannolikhet som gäller för alla summor (må så vara att du hellre vill tala om 60/40 än 50/50; det har jag egentligen inga synpunkter på). Eftersom varje nytt par återskapar samma problem som det löser, ser jag inte varför ett oändligt antal par gör någon skillnad.
Oändligtheter är lite knepiga för oss alla skulle jag tro. :smile2: Om du tänker såhär istället: Det är egentligen bara det sista paret som skapar ett problem, eller hur? Men har du oändligt många par finns inget sista par. Finns inget sista par finns inget problem längre.

bulsara skrev:Därav min liknelse med lånet. Även om varje nytt lån betalar av hela din gamla skuld blir du aldrig skuldfri, eftersom varje lån också skapar en ny skuld. Inte ens med ett oändligt antal lån blir du någonsin skuldfri. Det håller du väl med om? Jag tycker det är samma sak här, men du får gärna förklara varför analogin inte håller.
Tänkt dig istället att man betalar av en bit av lånet varje gång. Säg att vi har lånat 3 kronor och varje dag betalar vi av en tredjedel av det återstående lånet. Det innebär att första dagen betalar vi av 1 krona. Dag två betalar vi av 2/3s krona. Tredje dagen betalar vi av 4/9 krona osv. Den totala avbetalda delen av skulden kan summeras genom:

s = 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 ...

Kommer vi någonsin bli skuldfria? Efter varje avbetalning är ju alltid två tredjedelar av lånet kvar! Tja, kanske inte i praktiken, men den geometriska serie som s beskriver har summan 3 om vi summerar alla termer från första till oändligheten. Vi kan alltså summera alla termer, trots att det inte finns någon sista term. Titta gärna på det här exemplet.

bulsara skrev:Hur jag än vrider på det tycker jag att vinsten med bytet ligger i att du för varje summa räknar med en potentiell högre summa, men inte räknar med förlusten att byta till denna summa från en ännu högre. Genom att räkna med ett oändligt antal par får man med den sista vinsten, men aldrig den sista förlusten (eftersom den trollas bort genom att anta ett nytt par). Även om du inte håller med hoppas jag du ser hur jag tänker.
Jag tror jag förstår vad du menar men är inte riktigt säker. Att vi måste ha oändligt många summor motiveras, tycker jag, snarare av att ett krav är att man inte ska kunna veta att man har fått den högsta möjliga summan. Vet man det så gäller inte strategin "Alltid byta".


Tips på liknande intressanta problem.
"Jag är hälften grekisk gud, hälften sabeltandad tiger." - Thunder

Användarvisningsbild
kaxiga Z
Forummoderator
Inlägg: 17568
Blev medlem: tor 21 jun 2007, 07:44

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av kaxiga Z » tor 17 jan 2013, 13:13

Zartax (till bulsara) skrev:I specialfallet du nämner, med en sannolikhet på 50/50 så finns det en matematisk förklaring till varför det blir en paradox och det är att alla utfall får sannolikheten noll eftersom 50/50 kräver att alla par ska ha samma sannolikhet att inträffa.
Precis, men även detta (som du säger i detta citat) behöver på något sätt uttryckas medelst siffror/ekvationer, på något matematiskt vis. Och det är, vad jag förstår från diverse googlande, fortfarande inte klarlagt entydligt hur man gör.

Men visst, varje spel där man vet att det i det oöppnade kuvertet ligger en summa som i snitt är mer än den summa man har i sitt eget kuvert (oavsett vilken summa man själv nu har), är en del av paradoxen.

Användarvisningsbild
brimer
Inlägg: 1536
Blev medlem: tis 12 apr 2005, 17:01
Ort: Kiruna

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av brimer » tor 17 jan 2013, 14:06

Jag ska förklara vad jag menar med att flytta om staplar genom att tala om antal istället för om sannolikhet:

Bild

Tänk er två 11-manna-lag L1 och L2 som tävlar mot varandra. varje spelare i lagen spelar individuellt. En spelare kan genom att trycka på en knapp erhålla ett kuvert-par som är preparerade enligt den geometriska fördelningen, exakt samma fördelning för alla spelare givetvis. Man har ett maxbelopp på 29+210 att lägga i två kuvert.

Reglerna är:

Spelare i L1 byter alltid kuvert och spelare i L2 byter aldrig.

Spelere 1 i L1/L2 har till uppgift att alltid byta/behålla kuvert då denne får 1kr i kuvertet, övriga spelomgångar ignoreras.
Spelare 2 i L1/L2 har till uppgift att alltid byta/behålla då denne får 2kr i kuvertet, övriga spelomgångar ignoreras.
Spelare 3 i L1/L2 har till uppgift att alltid byta/behålla då denne får 4kr i kuvertet, övriga spelomgångar ignoreras.
:
Spelare 11 i L1/L2 har till uppgift att alltid byta/behålla då denne får 210kr i kuvertet, övriga spelomgångar ignoreras.

Efter spelets slut ska lagen se vem som har vunnit mest pengar. De jämför pengarna spelare för spelare.

Spelare 1
Spelare 1 från L1 och L2 kommer att ha lika många kuvert, men spelaren från L1 kommer bara att ha 1or och spelaren från L2 kommer att ha 2or. Ser bra ut för L2 ...

Spelare 2
Spelare 2 från L1 och L2 kommer att ha lika många kuvert, men spelaren från L1 kommer bara att ha 2or och spelaren från L2 kommer att ha 40% 1or och 60% 4or med ett medel på 2.2.
Men ...
-detta är lika många 1or som spelare 1 från L1 hade.
-2orna som L1 fick är lika många som spelare 1 fick i L2.
Nu har de alltså lika många 1or och 2or men L2 leder med ett antal 4or vilket drar upp totala medlet. L2 leder

Spelare 3
Spelare 3 från L1 och L2 kommer att ha lika många kuvert, men spelaren från L1 kommer bara att ha 4or och spelaren från L2 kommer att ha 40% 2or och 60% 8or med ett medel på 4.4.
... samma resonemang
Nu har de alltså lika många 1or och 2or och 4or men L2 leder med ett antal 8or vilket drar upp totala medlet. L2 leder fortfarande

etc etc etc

L2 leder med ett antal 210or inför sista jämförandet mellan Spelare 11.

Spelare 11
Spelare 11 från L1 och L2 kommer att ha lika många kuvert. Spelaren från L1 kommer bara att ha 210or, men ... eftersom 210 kr är maxbeloppet och spelare L2 bara 29or i sina kuvert.

Denna skillnad jämnar ut resultatet som blir oavgjort!
Senast redigerad av 1 brimer, redigerad totalt 0 gånger.

Användarvisningsbild
Zartax
Inlägg: 3406
Blev medlem: mån 05 nov 2007, 19:07

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Zartax » tor 17 jan 2013, 14:22

Men, eh, det här är ju inte samma problem som ställts upp tidigare. Med ett tak är det givet att det går jämnt upp. Väntevärdet för spelar L2-11 vid byte är ju 0.5*A.
"Jag är hälften grekisk gud, hälften sabeltandad tiger." - Thunder

Användarvisningsbild
matsw
Inlägg: 7263
Blev medlem: fre 10 feb 2006, 23:20

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av matsw » tor 17 jan 2013, 14:30

Vill inte va pinsam men...
Kan man få nån respons på mitt senaste inlägg?
Jag tycker att jag tydligt klargör misstaget som ger upphov till den skenbara paradoxen.
det väsentliga är inte vad man vet utan hur man vet det.

Användarvisningsbild
kaxiga Z
Forummoderator
Inlägg: 17568
Blev medlem: tor 21 jun 2007, 07:44

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av kaxiga Z » tor 17 jan 2013, 15:21

matsw skrev:Vill inte va pinsam men...
Kan man få nån respons på mitt senaste inlägg?
Jag tycker att jag tydligt klargör misstaget som ger upphov till den skenbara paradoxen.
Då ska jag förklara vad som är fel med resonemang A:

För att räkna ut vad som är fördelaktigt måste man räkna ut väntevärdet av summan av alla värden som dras, E[sum(a)], samt väntevärdet av alla värden som inte dras, E[sum(b)] och beräkna förhållandet mellan dem:

R = E[sum(a)] / E[sum(b)]

Om R < 1 ska man byta.
Zartax & Micke.d menar att man inte kan räkna ut väntevärden på 'kontrafaktiska' händelser dvs de händelser som ej skett/ej kommer ske.

(Själv menar jag dock att man nog bör göra det ändå, på något sätt, eftersom man t ex bevisligen sitter med ett kuvert med väntevärdet 1,1b t ex, men jag får väl tänka ut ett tydligt resonemang som försvar för detta.)

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13377
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av micke.d » tor 17 jan 2013, 15:31

matsw skrev:
micke.d skrev:
matsw skrev:det är E[A]/E som är intressant och det går mot 1.
Hur vet du det?

Pga symmetrin: Förfarandet för det som läggs i A-burken och det som läggs i B-burken är identiskt.

Fast E[A] konvergerar inte.

Så det du skriver ovan är matematiskt nonsens.
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
micke.d
Forummoderator
Inlägg: 13377
Blev medlem: tis 05 jan 2010, 19:02
Ort: Ultima Thule

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av micke.d » tor 17 jan 2013, 15:36

matsw skrev:Då ska jag förklara vad som är fel med resonemang A:

För att räkna ut vad som är fördelaktigt måste man räkna ut väntevärdet av summan av alla värden som dras, E[sum(a)], samt väntevärdet av alla värden som inte dras, E[sum(b)] och beräkna förhållandet mellan dem:

R = E[sum(a)] / E[sum(b)]

Om R < 1 ska man byta.

Det som felaktigt används istället ("resonemang A") är förhållandet mellan väntevärdena på värdenas belopp vid en dragning för ett specifikt värde.

Hur det är tänkt att vara ett bra sätt att räkna ut R vet jag inte men jag misstänker att man underförstått tänker sig att förhållandet av väntevärdet av summan av värdena är lika med summan av förhållandet mellan väntevärdena för specifika värdet samt antar man att väntevärdet för a är 1 vilket ger det felaktiga uttrycket:

R = Sum(1/E[b:a]) over all possible values of a.
Eftersom E[sum(a)] uppenbart är oändligt, liksom E[sum(b)], så är ovanstående inte matematiskt väldefinierat.

Det kan tänkas att du kan nå framgång genom att definiera något lämpligt gränsvärde, men som det står nu så funkar det inte.
Hädanefter kallar jag dem Daesh.

Användarvisningsbild
brimer
Inlägg: 1536
Blev medlem: tis 12 apr 2005, 17:01
Ort: Kiruna

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av brimer » tor 17 jan 2013, 15:38

Zartax skrev:Men, eh, det här är ju inte samma problem som ställts upp tidigare. Med ett tak är det givet att det går jämnt upp. Väntevärdet för spelar L2-11 vid byte är ju 0.5*A.
Jo, och frågan är hur trunkeringen förhåller sig till en praktisk situation. Det kan ju inte vara bristen på pengar som gör att det jämnar ut sig? Trunkeringen kan ju sättas godtyckligt högt i tankeexperimentet, och den kommer fortfarande göra så att inget lag tjänar mer än det andra. Spelarna representerar ju bara olika belopp i det första kuvertet för försök gjorda av en enskild person (som i förlängningen representerar sannolikheter i en enda dragning). Man skulle kunna ha tusentals spelare på varje lag. De som har ett nummer över en viss gräns skulle då aldrig få ett enda kuvert med sin siffra under tusentals spelomgångar för att det är så osannolikt att få kuvert med så höga belopp, och alltså inte ens aktivt delta i spelet. Men den teoretiska gränsen gör ju fortfarande att det jämnar ut sig.

Det som saknas är länken mellan den sjävklara lösningen "av symmetriskäl" som matsw med flera propagerar för, och som ju också måste vara giltig (i alla fall från en ringa fysikers synvinkel), och den här bilden. Hur går man från denna "procedurella" förklaring till en som gäller för sannolikheter för en enstaka dragning. En korrespondens-princip! Där går jag bet för tillfället!

Användarvisningsbild
Zartax
Inlägg: 3406
Blev medlem: mån 05 nov 2007, 19:07

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av Zartax » tor 17 jan 2013, 15:53

brimer skrev:Jo, och frågan är hur trunkeringen förhåller sig till en praktisk situation. Det kan ju inte vara bristen på pengar som gör att det jämnar ut sig? Trunkeringen kan ju sättas godtyckligt högt i tankeexperimentet, och den kommer fortfarande göra så att inget lag tjänar mer än det andra. Spelarna representerar ju bara olika belopp i det första kuvertet för försök gjorda av en enskild person (som i förlängningen representerar sannolikheter i en enda dragning). Man skulle kunna ha tusentals spelare på varje lag. De som har ett nummer över en viss gräns skulle då aldrig få ett enda kuvert med sin siffra under tusentals spelomgångar för att det är så osannolikt att få kuvert med så höga belopp, och alltså inte ens aktivt delta i spelet. Men den teoretiska gränsen gör ju fortfarande att det jämnar ut sig.

Det som saknas är länken mellan den sjävklara lösningen "av symmetriskäl" som matsw med flera propagerar för, och som ju också måste vara giltig (i alla fall från en ringa fysikers synvinkel), och den här bilden. Hur går man från denna "procedurella" förklaring till en som gäller för sannolikheter för en enstaka dragning. En korrespondens-princip! Där går jag bet för tillfället!
Men en trunkerad serie ger ingen paradox. Paradoxen ligger i att man, för att få större utdelning, ska byta oavsett summa i det öppnade kuvertet, men det gäller inte för en trunkerad serie. I den trunkerade serien finns det en summa där man inte ska byta. Eller?
"Jag är hälften grekisk gud, hälften sabeltandad tiger." - Thunder

Användarvisningsbild
brimer
Inlägg: 1536
Blev medlem: tis 12 apr 2005, 17:01
Ort: Kiruna

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av brimer » tor 17 jan 2013, 16:07

Zartax skrev:
brimer skrev:Jo, och frågan är hur trunkeringen förhåller sig till en praktisk situation. Det kan ju inte vara bristen på pengar som gör att det jämnar ut sig? Trunkeringen kan ju sättas godtyckligt högt i tankeexperimentet, och den kommer fortfarande göra så att inget lag tjänar mer än det andra. Spelarna representerar ju bara olika belopp i det första kuvertet för försök gjorda av en enskild person (som i förlängningen representerar sannolikheter i en enda dragning). Man skulle kunna ha tusentals spelare på varje lag. De som har ett nummer över en viss gräns skulle då aldrig få ett enda kuvert med sin siffra under tusentals spelomgångar för att det är så osannolikt att få kuvert med så höga belopp, och alltså inte ens aktivt delta i spelet. Men den teoretiska gränsen gör ju fortfarande att det jämnar ut sig.

Det som saknas är länken mellan den sjävklara lösningen "av symmetriskäl" som matsw med flera propagerar för, och som ju också måste vara giltig (i alla fall från en ringa fysikers synvinkel), och den här bilden. Hur går man från denna "procedurella" förklaring till en som gäller för sannolikheter för en enstaka dragning. En korrespondens-princip! Där går jag bet för tillfället!
Men en trunkerad serie ger ingen paradox. Paradoxen ligger i att man, för att få större utdelning, ska byta oavsett summa i det öppnade kuvertet, men det gäller inte för en trunkerad serie. I den trunkerade serien finns det en summa där man inte ska byta. Eller?
Det beloppet kan väljas så högt att det aldrig kommer att komma upp. En fiktiv gräns som kan anpassas så att den inte har någon praktisk betydelse givet ett visst antal försök.

Användarvisningsbild
kaxiga Z
Forummoderator
Inlägg: 17568
Blev medlem: tor 21 jun 2007, 07:44

Re: Stefan byter kuvert

Inlägg av kaxiga Z » tor 17 jan 2013, 16:11

Är, liksom brimer, inte helt säkert på att trunkeringen förklarar paradoxen.

Skriv svar